选择题

1、下列关于圆的叙述正确的是（）

A. 圆的对称轴只有一条 B. 圆的对称轴有无数条且经过圆心

C. 圆的对称轴只有两条 D. 以上说法都不对

答案：B，圆的对称轴有无数条，且都经过圆心，因此选项B正确。

填空题

1、在平面直角坐标系中，圆的标准方程为 _______。 （提示：考虑圆心坐标和半径）答案：根据圆的标准方程的定义，假设圆心为$(a, b)$，半径为$r$，则圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$。

解答题

1、已知圆C经过点A（3，-4），且与直线$y = 2x + 3$相切于点B（5，13），求圆C的方程。

答案：设圆心为$O(a, b)$，半径为$r$，根据题意得到两个方程：

① 圆上点A的方程为$(3 - a)^{2} + (-4 - b)^{2} = r^{2}$；

② 圆与直线相切于点B，故圆心到直线的距离等于半径，即$r = \frac{|2a + b - 3|}{\sqrt{5}}$，解这两个方程可以得到圆C的方程。

证明题

1、证明：无论实数k取何值，圆$x^{2} + y^{2} + kx + 2y + k^{2} = 0$恒过一定点，请写出证明过程。

答案：将圆的方程化为标准形式$(x + \frac{k}{2})^{2} + (y + 1)^{2} = \frac{k^{2}}{4} + 1$，令$\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{k}{2} = 0 \\ y + 1 = 0 \end{array} \right.$解得$\left\{ \begin{array}{l} x = -\frac{k}{2} \\ y = -1 \end{array} \right.$，即点$(- \frac{k}{2}, - 1)$满足该方程，因此无论实数k取何值，该圆恒过定点$(- \frac{k}{2}, - 1)$。

综合题

1、在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径为r（r＞0），点A的坐标为（m，n），点B的坐标为（-m，-n），求证：线段AB是圆C的直径且AB的中点M在圆上。 答案：证明如下： ① 由于点A和点B关于原点对称，所以线段AB经过原点，即圆心到线段两端点的距离相等，满足圆的定义； ② 线段AB的中点M的坐标为$\left(\frac{m - m}{2}, \frac{n + (-n)}{2}\right)$即原点，在圆上，因此线段AB是圆C的直径且AB的中点M在圆上。